■SIC現代システム科学講座
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22E3:02420221011質問第3回森 芳立横河電機(株)梅谷先生 お忙しい中,ご教示をいただき有難うございます.線形計画計算ではもう現代では分解原理を使う優 位性が無くなっていること,そして,整数計画法の研究分野では時に使われることがあることについ て理解致しました. LP問題での分解原理の適用は40年位前ですが,当時,某製紙工場で取組んでいた数日間に渡る生産計 画問題のマトリックスが,周期的(日ごと)に繰り返される特殊な構造をしており分解原理が適用で きる形に定式化できるものでした.これを,工場に導入されていた当時のプロセスコンピューター (現在のものに比べるととても小さな計算機で,主メモリは僅か24MByte.外部磁気記憶容量も 800Mbyte程)で解いていく必要があり,これを一度,分解原理でも解いてみたいという願望が私の中 にずっとあったためですが,先生からのコメントを読ませていただき現在の状況下では,その考えか ら吹っ切れた感じがしております.分解原理は良く考案された優れた解法と感じていますが,小さな 問題でも自分で手計算で追ってみると,その計算が実はどれだけ厄介なものであるかということが身 に染みて良く判りましたし,大筋ですが分解原理の解法について一応は理解できたと思っていますの で,余りこの手法に固執はしないことにしたいと思っています. 今回は大変に参考となるご教示をいただき,誠に有難うございました.お礼申し上げます. :森
22E3:02320221010回答第3回梅谷 俊治大阪大学整数計画問題ではDantzig-Wolfe分解やBenders分解を活用した論文は割と見かけますが,線形計画問題について分解法を活用するという 論文は見かけないです. そもそも,分解法は部分問題に分解できることをユーザが知っていることが前提なので,万能というよりは使い所が限られる手法というのが 私自身の印象です. また,現在の線形計画ソルバーは十分に効率的で,ソルバーの性能限界よりもPCのメモリ量の限界で解ける問題の規模が制限されます. 実際に,線形計画法のpricingは日々進歩していますので,線形計画問題では下手な分解法よりもpricingの方が汎用的かつ効果的というのが 現在の状況かなと思います. 実装の手間も考えると,よほど大規模かつインパクトの大きい事例でなければ整数計画問題ならともかく線形計画問題で分解法を頑張ろうと 思わないというのが正直な感想です.
22E3:02220221010質問第3回森 芳立横河電機(株) 講義から随分と日が経っての質問となり誠に恐縮でが,第3回目の梅谷先生のご講義:最適化に関連 して,先生の講義内容とは少々,異なる対象ですが,下記の質問をさせていただきたく,宜しく,お 願い致します.  実は,かなり前にですが,複数の分離形制約条件と共通結合した制約条件を持つ規則性を持つよう な大規模なLPの生産計画問題に対し,当時の少さなメモリ容量しか持たない計算機で,しかも実用時 間内でこれを解いていく必要に迫られ,その代表的な解法として有名な「Dantzig-Wolfeの分解原 理」があることを知り,以来,この手法にずっと関心を持ち続けてきました. この問題に対し,その時はネットワーク計画法の「最小費用流問題」を適用することで一応の解決を 得ましたため,「分解原理」を用いた解法についてはそのまま忘れた形になっていましたが,最近, 改めて自分で「分解原理」でもきちんと解けるようにしておきたいと再トライをし始めていました. また,第3回目の梅谷先生の最適化の講義からも触発を受け,この解法の習得に取組んでいるのです が,どうも自分の能力限界のためか,なかなかうまく行きません. 「Dantzig-Wolfeの分解原理」の解法アルゴリズムについては,古い本ばかりですが,昔,取り貯め ていた下記の専門書などを引っ張り出して読み返し,解法の進め方についても,もう一度,大筋何と か理解しながら,自分の手を実際に動かして筆算でですが解いてみています.  「①:数理計画法/関根泰次著/岩波書店(3.7章),1976年」,  「②:システム工学の手法/寺野寿郎ら編著/日刊工業新聞社(3.3.2章),1972年」,  「③:計算を中心とした線形計画法/小野勝章著/日科技連出版社(9章),1976年」,  「④:大規模システムの最適化理論/Lasdon著,志水清孝訳/日刊工業新聞社(3章),1973 年」,  「⑤:The decomposition algorithm for linear programming/Dantzig,Wolfe著/RAND Corporation(1961)」,  「⑥:Linear programming/Vasek Chvatal著/W.H.Freeman and Company(26章),1980年」,  「⑦:整数計画法とネットワーク・フロー/T.H.HU著,伊理正夫,今野浩,棚橋次彦訳/培風館 (7章),1975年」,  「⑧:数理計画法/H.P.Kunziら著,刀根薫訳/日科技連(1.9章),1969年」 上記の①②③④⑤⑥⑦⑧の本に記述されている分解原理の小問題の例題の解法については,自分なり にフォローして,何とか理解したつもりなのですが(実際には,疑問に思う部分があるものが中には いくつかあるにはあるのですが...),例えば,①の関根先生の本(岩波)に記述されている問題 では,途中の最適解が一意には決まらない所があり,これに対して試しにですが,計算ステップの途 中から採用する最適解としての端点を妥当性のある別のものと考えられるものに変えて解いてみたり してみると,自分の計算では何故か計算が行き詰ってしまって,その先,解法が進まなくなるような ことが起こったりして悩んだりしていますし,一部,誤植と思われる所も見つけたりもして自信が持 てなくなっていたりしています.  また,②の寺野先生の本では,小さな問題ですが実際の解法について詳しく判り易く書かれていて 有難いのですが,これにも一部,誤植と思われる所を,見つけたりして確信が持てなくなっていたり します. また③の小野先生の本では少し大型問題での解法が詳しく書かれていて,これもとても有難いのです が,解法の後半は省略してあり,自分で後半を行なおうとすると,計算が余りに複雑に過ぎて手を付 け辛く,自分の納得が行く形で最適解にまで行き着けずに悩ましい状態で止まっています. ■このような状況のため,以下,梅谷先生にご教示をお願いしたいのですが,「Dantzig-Wolfeの分 解原理」の解法自体,万能とは言えず,問題に依っては何らかの問題点も孕んでいる解法なのか?? という疑問が自分的には湧いてきたりもしているのですが,実際の所,どのようなのでしょうか?? (私の理解が間違っているのでしょうが...) また一方で,最近の数理計画の専門書には「分解原理」について書かれる物は全く見られなくなって いるようですが,こういったLPの大規模問題での解法は,PCハードの高速化とか高性能化や低廉化な どで,もうそういった理論の必要は無くなり,大きなLP問題もDantzigの単体法のみで力づくで解い て行くことが可能となり,「分解原理」はもう最近の研究対象とはならなくなっているということな のでしょうか?? 尚,個人的には,大規模な問題を,複数の小規模な問題と全体を繋ぎ合わせる制 約式とに分解して解いていく魅力的な理論であり,とても惹かれる解法であると,今でも思っている のですが... 以上,まとまりなく,私が考えている内容について判り辛い質問で本当に申し訳ありませんが,この 周辺について,ご教示をいただけますと大変に有難く存じます. お忙しい中,恐縮ですが,宜しく,お願い申し上げます.
22E3:02120220914質問第4回佐々木尚史横河電機(株)木村先生 早速のご回答ありがとうございます。二次近似する方法も、二次式の最小値を求めるためにヘッシアン の正定値性が必要になり、いすれにしても逆行列を求める必要があります。ありがとうございました。
22E3:02020220913回答第6回木村 英紀SICご質問有難うございます。 テイラー級数の二次の項まで含めてゼロとする近似法があるとは私は知りませんでした。そうすると各 ステップで二次の方程式を解かなければなりませんね。精度は上がるでしょう。ただ、多変数の場合は 連立二次方程式を解くこととヘッシアンの計算が必要になり、相当面倒になると思います。ヤコビアン が正則でなくなる場合を考えなくてもよくなりますね。 この方法まで含めてニュートン法と言うかどうか、私にはわかりません。片山先生の本を私は見ていま せん。 勉強になりました。有難うございました。
22E3:01920220913質問第4回佐々木尚史横河電機(株)木村先生 第6回の補講でも解説いただいたニュートン法ですが、本手法は微分可能関数をある点におけるテイラ ー展開の一次の項までで近似する手法となるので、修正ステップ幅の分母に一次微分の逆数(多変数の 場合はヤコビ行列の逆行列)が現れますが、他の本(例えば片山先生のシステム同定入門、朝倉書店) では、テイラー展開の2次の項までの近似としており、修正ステップ幅の分母には二次微分の逆数(多 変数の場合はヘッシアンの逆行列)が現れます。近似精度の違いはありますが、どちらにしても近似解 法としては正しいとは思います。ただ、一般にニュートン法と言ったときにはどちらを指すのでしょう か?他の文献でも二通りの定義があるようで、少し混乱しています。 あまり本質的な議論ではないと思いますが、ご教示いただければ幸いです。
22E3:01820220801その他第4回佐々木 尚史横河電機(株)奥先生 早速のご丁寧なご回答ありがとうございます。ご紹介いただいた書籍等で勉強したいと思います。 私自身は、業務でプラントのDCSにおける膨大なデータからプロセスの同定や制御パラメータの最適 化といったことに取り組んでいますが、現状はMatLabのSystem Identification Toolboxのコマンド等 を活用して解析しています。より進んだ最新の理論も取り込めないか、今後勉強したいと思います。 ありがとうございました。
22E3:01720220729回答第4回奥 宏史大阪工業大学■佐々木様、ご質問ありがとうございます。今回の講座では、モデリング手法の一つとしてシステム 同定法を紹介し、その導入部分のお話までしかしませんでした。ご推察の通り、システム同定の実問 題への利用についてはより専門的な理論や使用上のノウハウも必要となると思います。部分空間同定 法が1980年代後半に登場してから30年以上が過ぎ,実用的なシステム同定法として一定の評価が得ら れるようになりました。部分空間同定法は,Ho-Kalmanの方法における拡大可制御性行列に対応する 部分の推定(Kalman状態推定)をベースにするN4SID法を代表とする方法と、拡大可観測性行列の推 定をベースとするMOESP法を代表とする方法の二つに大別できると思います。両者では、アプローチ やそれに伴い表現がお互いにかなり異なっていますので、同時に学ぶと混乱するかもしれませんので どうぞお気を付けください。 ■部分空間同定法に関する和書といたしましては、和田,奥,田中,大松,システム同定,コロナ社 (2017)と片山,システム同定―部分空間法からのアプローチ (新版),朝倉書店(2018)がござい ます。前者の書籍では主にMOESP法の基礎を取り扱っていますが、途中でN4SID法も紹介しており、う まく切り分けて読んでいただけると混乱が抑えられると思います。後者の片山先生の著書はしっかり と体系立てて書かれた良書ですので、腰を据えてお読みいただければと思います。洋書では、N4SID 法は、van Overschee & De Moor, Subspace Identification for Linear Systems, Kluwer(1996)、 MOESP法は,Verhaegen & Verdult, Filtering and System Identification, Cambridge(2007)があり ます。 ■部分空間同定法に限らずシステム同定では外乱雑音をいかにモデル化して見積るかによってさまざ まな手法が提案されています。前述の和田他,システム同定,コロナ社(2017)ではモデル構造の違い による部分空間同定法の分類について記述されています。 ■より実務的な話になりますと、設計パラメータの選択や閉ループ系の取り扱いなど様々な問題があ ります。独学では難しいとなりましたら、アドバンスなセミナーの受講や専門家にご相談されること をお勧めします。
22E3:01620220729質問第4回佐々木 尚史横河電機(株)奥先生 第4回講座のモデリングの講義、大変興味深く聴講させていただきました。 当日は業務の都合により出席できなかったのですが、後日事務局より提供いただいたYouTubeにより 聴講できました。 最後の話題のHo-Kalman法では、理論的には非常に美しい結果ですが、現実問題としてインパルス応 答をプラントに入力することは難しいのでは?と疑問を持ちましたが、質問コーナーにおける木村先 生含めた議論のなかでHo-Kalman法の位置付けがよく理解できました。 奥先生からは、部分空間法では、インパルス応答を使わない他の種類の入力からシステム同定を行う 手法が研究されているというお話がありましたので、次のステップとして部分空間法を勉強するには どのような本または論文を読んだらよいか、ご教示いただけますでしょうか。 また、設定値変更や外乱入力のあるプラントの実データに部分空間法を適用してプロセス同定を行う には、どのような注意が必要なのでしょうか? 以上恐れ入りますがご教示いただければ幸いです。
22E3:01520220702回答第3回森 健一郎オムロン(株)梅谷先生、丁寧な回答ありがとうございました。私も経験からですが、最適化の基礎とその体系は変わ らないのではと考えていました。技術者として、技術開発の方向性を間違えないように、しっかりと見 極めたいと思います。
22E3:01420220626回答第3回梅谷 俊治大阪大学■森様,コメントと質問ありがとうございます. 私自身は実用側に重きを置いたスタイルで研究していますが,基礎を習得したからこそ今があると思っていますし,理論を専門とする先生 方との交流が自身の研究にも大いに役立っていると実感しています. ■さて,量子コンピュータが(組合せ)最適化の体系にどのような影響を与えるかですが,私自身は物理学の専門家ではないので,将来性 を含めて精確な判断は難しいというのが正直なところです.例えば,下記の解説記事などが参考になると思います. 森前智行,量子計算で出来ること・出来ないこと,日本物理学会誌,2019年. http://tomoyukimorimae.web.fc2.com/wadai.pdf ちなみに,理論面では(最適化からは少しずれますが)計算論や暗号論で量子計算の貢献は大きいようです. ■国内では,量子コンピュータ以外にも量子アニーリングや量子インスパイアードマシンなど,イジングモデルに基づくコンピュータいわ ゆるイジングマシンの開発も盛んです.ただし,少なくとも現状では,最先端の整数計画ソルバーや高性能な専用アルゴリズムを大幅に上 回る性能を達成したという報告を目にしたことはありません. 私自身が感じるこれらイジングマシンの問題点は以下の通りです. ・イジングマシンは厳密な最適解を出力するわけではない,いわゆるヒューリスティクスである. ・解ける問題例の規模がイジングマシンのbit数に制限されるため小規模から中規模の組合せ最適化問題にしか対応できない. ・イジングモデルはQuadratic Unconstrained Binary Optimization; QUBOと呼ばれる2次の制約なし2値最適化問題なので,複雑な 制約条件を持つ組合せ最適化問題が苦手. イジングマシンは小規模の制約なし組合せ最適化問題に対して短時間でほどほどに良い近似解を求めることに適していると思いますが,逆 にそれ以外の組合せ最適化問題では微妙だなというのが正直な意見です. 現状では,実務における技術選定でイジングマシンを優先する理由は多くはなさそうです. ■そのようなわけで,個人的には,現状では量子コンピュータの実用化が最適化の体系を大きく変えると判断できる材料はないと思いま す.
22E3:01320220625質問第3回森 健一郎オムロン(株)梅谷先生、私が学部4年だった時、線形計画法ではカーマーカー法の特許出願で、何か新しいことが起 きるのか、という浮ついた期待がありました。当時16bitパソコンのBASICインタプリタで非線形計画法 のプログラムをしていて、新手法で早く解が得られることに実用の価値がある時代でした。一方で、指 導教授からは基礎は何も変わらない、本質を見なさい、と厳しく教えられました。第3回の講義に出席 して、指導教授が正しかったと、あらためて思いました。現在、量子コンピューターが発表されてか ら、組合わせ最適化問題が高速に解けることが注目されています。将来は、量子コンピューターに適合 するような数理的な原理や新手法が出てくるのでしょうか。あるいは、量子コンピューターが実用化さ れたとしても、最適化の体系は今後も変わらないのでしょうか。研究の最先端ではどのように議論され ていますか。
22E3:01220220614回答第2回トリヴェディ シュバーン構造計画研究所 構造設計1部木村先生、線形・非線形について丁寧にご説明いただきありがとうございます。非線形性状を持つシステムの場 合でも線形で学んだ基本的な考えが役に立つと理解しました。本講座を通して線形システムの基本をしっかり理 解して行きたいと思います。よろしくお願いします。
22E3:01120220610回答第2回木村 英紀システムイノベーションセンター貴重なご質問、有難うございます。講義では非線形システムと、それに伴う線形システムの限界につ いては触れなかったので、貴殿のような疑問を持たれるのは当然と思います。 現実のシステムの多くは非線形です。線形システムはシステムの特殊ケースに過ぎないと言っても間 違いではないでしょう。しかし線形システムの理論を学ぶのは大変重要です。その理由は  ① 線形システムの理論は大変進んでおり、システムに関して何をどこまで行うことが出来るか 、についてのこれまでの成果を「体系的に」知ることが出来ます。  ② かなりのシステムは近似的に線形システムと考え、線形システムの理論を適用できる  ③ 非線形システムを扱う方法の多くは、線形システムに対して得られた手法の拡張である。 を挙げることが出来ます。 例えは悪いかもしれませんが、線形理論は料理で言えば「コース」です。料理の全体をざっと 味わい、料理のエッセンスを知ることが出来ます。非線形は「アラカルト」です。さまざまの 現象に立ち向かう数多くの手法があり、それを選ぶことが出来ます。ただし、「体系的」とは 言えません。 線形システムの「体系性」のもとは周波数の概念にある、というのが私の考えです。周波数は 線形時不変システムと切っても切れない関係にあるということは、システムを取り扱う場合に 知っておいてほしい第一のことです。 もうひとつの時不変性についても、ほぼ同じことがいえると思います。 回答になっていればうれしいです。
22E3:01020220609質問第2回トリヴェディ構造計画研究所第2回の講義では「線形時不変システム」を前提に周波数領域やフーリエ変換等の話をしましたが、このようなシ ステムの実用的例について教えていただけないでしょうか。数学的な定義は理解しましたが、社会に実際に存在 するシステムに線形性や非線形性はどう適用されるか知りたいです。また、社会に実際に存在するシステムの多 くは非線形性を持つと考えられますが、このようなシステムに対しても「線形時不変システム」の基本的な考え 方は適用するのでしょうか。それとも「非線形システム」を対象にした別の考え方があるのでしょうか。
22E3:00920220524その他第2回木村 英紀システムイノベーションセンター講演者の木村です。 アンケートで重要なミスを指摘されました。講義ではフーリエ変換が可能な条件として「2乗可積分」 であることと述べました。これは間違いです。単なる「可積分」すなわち「絶対値の積分が有限である こと」がフーリエ変換可能であるための条件でした。2乗可積分であっても、可積分でない関数は いくらでも存在します。私の初歩的なミスでした。お詫びして訂正いたします。 重要なミスをご指摘いただいたことに感謝いたします。
22E3:00820220511回答第1回森 健一郎オムロン株式会社木村先生、回答ありがとうございました。次回の講義をしっかりと受講させていただき、私も考えを深 めてまいります。
22E3:00720220509回答第1回木村 英紀システムィノベーションセンター森健一郎様、 大きなそして重要なご質問、有難うございます。ご指摘の点は次回(5/14)の私の講義のテーマのひ とつです。貴殿の言われるように、自然と並んで人工物も科学の対象で、その比重が次第に増してき たプロセスが、ここ一世紀ほどの科学の発展の歴史ではないかと思っています。 「科学」と言えば暗黙の裡に「自然科学」を、「科学者」と言えば「物理学者や生物学者」を意味す る傾向は世界的ですが、特に日本ではその傾向が強いと思います。本当はそうではありません。 今度の講義でお話ししますが、私は「第三の科学革命」で生み出された知が人工物の科学の基礎を作 ったと考えております。もっと遡れば20世紀初頭の「数学と論理学の融合」が人工物の科学の 出発点となったと考えております。そこから計算機の発展がはじまりました。 システム科学は、自然科学と並ぶ「人工物の科学」の中核とならなければならないと考えておりま す。 木村
22E3:00620220507質問第1回森 健一郎オムロン株式会社なぜ、システム科学のような全体を俯瞰する学問が発展しなかったのでしょうか。今日では人工物の対 象は広がり、システム構築の経験を重ねているはずなのに、知識の基盤として周知されていません。私は人工物の対象や現象についての知識の体系をつくりあげることが、今日の社会での根本的な課題の 1つと考え、本講座に参加しました。現代は人工のシステムに依存することで、社会と個人に幸福、時 には不幸をもたらす可能性があると思います。ハーバート・A・サイモン教授は、約50年前に著書のThe Sciences of the Artificialにおいて、いかにしてシステムの科学が可能なのか、人工知能と意思決定 を挙げて説明されています。ところが、近年では人工物の対象や現象についての知識の体系化が後退し てしまったように感じます。
22E3:00420220429回答第1回大島 正則京都大学木村先生 オートメーションが対象とするシステムでは,人はその他の構成要素(機械,装置など)と同列であるた め機械などによって代替可能であるのに対して,社会システムでは,人は価値を定義する要素であるた め,システムから排除すべきでないということですね.オートメーションにおけるシステムと社会システ ムの性質の違いが理解できていなかったために,両者が相反するように見えていたのだと思います.丁寧 な回答ありがとうございました.
22E3:00320220428回答第1回木村 英紀大島様 木村です。ご質問有難うございます。 オートメーションは確かに人を排除しようとするシステムと言ってよいでしょう。一方社会システム は人を取り込んだシステムです。両者で人への対応が異なるように見えるのは確かだろうと思いま す。 ポイントは、両者において人の役割や機能が異なることです。前者は人が単純な繰り返し作業を 行う存在であり、後者はシステム構成上どうしても必要な機能を果たさざるを得ない存在です。 社会システムは価値を実現することを目的とするシステムであり、価値とは人間にとっての価値で す。 そしてそれは人によって異なる多様なものであり、いわゆるステークホルダーという言葉が生まれる のは価値の多様性を反映したものです。 オートメーションが主とて推進してきたものを要素とするシステムに対して、ヒトを要素とする システムが重要となるのは社会システムであり、そこではこれまでと異なる人間への対応が必要に なるとの主張を行いました。
22E3:00220220423質問第1回大島 正則京都大学非常に興味深いお話ありがとうございます. 講演のなかで,自動化においてシステム思考が重要であるという話と,人とモノの両方を構成要素に持 つシステムを今後考えていかければならないという話があったと思います. 前者はシステムから人間を排除しようとするものであり,後者は人間をシステムの中に積極的に取り込 もうとするものであると認識しています. そうするとこの両者は互いに矛盾しているように思うのですが,両者の関係性はどう考えるべきなので しょうか? システム化による全自動化が最終的な到達点で,そこに到達するまでの過渡的な段階として人を構成要 素に持つようなシステムを考えないといけないという理解なのかなと考えているのですがどうでしょう か?
22E3:00120220422討論第1回SIC事務局システムイノベーションセンター「現代システム科学講座」第1回講義の概要は以下です。 質問、討論など本ページに投稿ください。 第1回講義 講師:木村英紀、講義概要: 「今なぜシステムの時代になったのか?」を歴史をひもと いて説明し、 産業と技術におけるシステムの重要性について述べる。本連続 講義シリーズの目的と内 容を概観し、各講義の相互の関連やシステム構築 への生かし方を述べる。「システムの時代」におけ る日本の産業の 課題を述べる。

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